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sera l’équation primitive singulière, et l’équation en $x,y,a,b,c$ en sera l’équation primitive en $x$ et $y,$ en supposant entre les trois constantes $a,b,c$ la relation donnée par l’équation

$\Phi (a,b,c)=0.$

Si l’équation singulière donnée était du second ordre, on prendrait une équation en $x$ et $y,$ et quatre constantes $a,b,c,d,$ et ainsi de suite.

Supposons que l’équation primitive singulière soit

$y'=\mathrm {A} y,$

et prenons l’équation

$y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-c=0,$

d’où l’on tire les deux dérivées, prime et seconde,

$y'-ax-b=0,\quad y''-a=0\,;$

ces trois équations donnent

$a=y'',\quad b=y'-xy'',\quad c=y-xy'+{\frac {x^{2}}{2}}-y''.$

Mais la proposée donne

$y'=\mathrm {A} y,\quad y''=\mathrm {A} y'=\mathrm {A} ^{2}y\,;$

donc, substituant ces valeurs, on aura

$a=\mathrm {A} ^{2}y,\quad b=\mathrm {A} y(1-\mathrm {A} x),\quad c=y\left(1-\mathrm {A} x+{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2}}x^{2}\right).$

Éliminant $x$ et $y,$ on trouve l’équation

$a^{2}+\mathrm {A} ^{2}\left(b^{2}-2ac\right)=0,$

dans laquelle, en substituant les premières valeurs de $a,b,c,$ il vient l’équation du second ordre

$y'^{2}-2\mathrm {A} ^{2}yy''+\mathrm {A} ^{2}y'^{2}=0,$

dont la proposée $y'=\mathrm {A} y$ sera l’équation primitive singulière, et