donne
![{\displaystyle b=\psi (a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec280589fb70977e68bfda5224287c012d5c2ef)
et qu’on substitue cette valeur à la place de
il s’ensuivra que l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} \left[x,\Sigma (x),a,\psi (a)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24092633b29d1b16be996dad5fbcc06bfeb4c1df)
aura lieu en même temps que son équation prime relative à
Mais,
étant alors une fonction de
l’équation prime relative à
et
doit avoir lieu ; donc la partie relative à
aura lieu aussi en particulier ; ce qui est le caractère de l’équation primitive singulière.
Ainsi, ayant pris une équation primitive quelconque en
et
il n’y aura qu’à éliminery au moyen de l’équation primitive singulière donnée, ensuite éliminer
par celle-ci et par son équation prime relative à
on aura sur-le-champ une équation en
et
qui sera l’équation de condition
![{\displaystyle \Phi (a,b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f639df19038c3872f1a61011361e278de795f83)
par laquelle il faudra déterminer l’une des deux constantes
ou
par l’autre. Ensuite on pourra, d’après la même équation primitive, chercher, si l’on veut, l’équation dérivée par l’élimination de la constante arbitraire.
Dans l’exemple précédent, en substituant
pour
dans l’équation
![{\displaystyle y^{2}-ax^{2}-b=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67a87673e80fad22415d9eaba69ff655113941b1)
on a
![{\displaystyle \left(\mathrm {A} ^{2}-a\right)x^{2}+2\mathrm {AB} x+\mathrm {B} ^{2}-b=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb3ab94f9ca959f4bbbf46b815f42308288f762)
dont l’équation prime est
![{\displaystyle \left(\mathrm {A} ^{2}-a\right)x+\mathrm {AB} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1b60031a371952803b2cda0c4c1f47a7a8f5d2)
celle-ci donne
![{\displaystyle x=-{\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A} ^{2}-a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cf962fcccaa593add0202a74b5e58918e830ed)
et cette valeur, substituée dans la première, donne sur-le-champ l’équation de condition
![{\displaystyle \left(\mathrm {A} ^{2}-a\right)\left(\mathrm {B} ^{2}-b\right)-\mathrm {A^{2}B^{2}} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48081ab0126c724381c2dc052025faa8047207b)
comme plus haut.