son équation dérivée sera
![{\displaystyle yy'-ax=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f31c787f8290cb166095277647f7272e7971c92)
et l’on tire de ces deux équations
![{\displaystyle a={\frac {yy'}{x}},\quad b=y^{2}-xyy'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9722192771bad449fdf2432cca735992701b9336)
Supposons maintenant que l’on ait l’équation primitive singulière
![{\displaystyle y-\mathrm {A} x-\mathrm {B} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f73dbe1b40af0e243fd3ad9850c7685792d402d8)
elle donne
![{\displaystyle y=\mathrm {A} x+\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef31a4af734534fddbc402b6162d04f55c765c0)
donc
![{\displaystyle y^{2}=\mathrm {A} ^{2}x^{2}+2\mathrm {AB} x+\mathrm {B} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f07f69fd36f0af6fc11b91dfb465f1fee87b946)
et
![{\displaystyle yy'=\mathrm {A} ^{2}x+\mathrm {AB} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914cba167359eac0e0611ebad269221a69d999c8)
de sorte que, par ces substitutions, les valeurs de
et
deviendront
![{\displaystyle a=\mathrm {A} ^{2}+{\frac {\mathrm {AB} }{x}},\quad b=\mathrm {AB} x+\mathrm {B} ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc35bc6d6015e2795ece1f6961d370161460b4f)
d’où l’on tire, en éliminant
cette équation en
et ![{\displaystyle b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb96677ba71b937617ca8751955f884f6306b64)
![{\displaystyle \left(a-\mathrm {A} ^{2}\right)\left(b-\mathrm {B} ^{2}\right)-\mathrm {A^{2}B^{2}} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab47f9695cb7c770e597a69a179de33f90a420fe)
savoir,
![{\displaystyle ab-\mathrm {B} ^{2}a-\mathrm {A} ^{2}b=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d1a5a90f2d326786087f2eb75b52e36ab0f9b9)
Donc, substituant ici les premières valeurs de
et
en
on aura l’équation du premier ordre
![{\displaystyle {\frac {yy'}{x}}\left(y^{2}-xyy'\right)-\mathrm {B} ^{2}{\frac {yy'}{x}}-\mathrm {A} ^{2}\left(y^{2}-xyy'\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d9fccbfc288dc16920d36694f48e133dc93a0a0)
dont celle-ci
![{\displaystyle y-\mathrm {A} x-\mathrm {B} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d327439a1b9cbacd4717298469f6001fb94a0bc7)
sera l’équation primitive singulière.
Son équation primitive ordinaire sera
![{\displaystyle y^{2}-ax^{2}-b=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67a87673e80fad22415d9eaba69ff655113941b1)