étant des nombres quelconques qui vont en augmentant, et des fonctions de on aura l’équation en
On aura donc aussi, pour la première approximation,
équation qui, étant divisée par a pour équation primitive
en prenant pour la fonction primitive de et pour la constante arbitraire.
Or, pour que soit une valeur singulière de il faut que la valeur qui y répond, ne puisse pas être contenue dans cette équation, en donnant à une valeur quelconque constante.
Il faut donc que l’exposant de soit un nombre positif ; car, s’il était négatif, deviendrait infini lorsque et répondrait à la supposition de infini.
S’il était nul, on aurait le cas que nous venons d’examiner, où et où répond aussi à infini.
Au contraire, lorsque est positif, donne aussi
et l’équation devient alors
laquelle ne peut pas subsister, parce que la valeur de ne serait plus constante.
Donc, pour que puisse être une valeur singulière de il faut que le développement de contienne une puissance dans laquelle
En considérant la fonction son développement, lorsqu’on y met à la place de est, en général, donc, suivant la théorie que nous avons exposée dans la Leçon hui-