En général, on pourra prouver de la même manière que, si l’on a une équation de l’ordre ième, réduite à la forme
son équation primitive singulière rendra infinies les fonctions dérivées jusqu’à la suivante inclusivement,
Pour confirmer, a posteriori, ce que nous venons de démontrer, considérons une équation du premier ordre, telle que
à laquelle satisfasse une valeur singulière de que nous désignerons par fonction de
On aura donc, par l’hypothèse,
et, pour que la valeur ne soit pas comprise parmi les valeurs de données par l’équation primitive, il faudra qu’en supposant, en général,
étant une nouvelle variable, la valeur de tirée de l’équation primitive ordinaire, ne puisse jamais être nulle.
Substituons donc au lieu de dans l’équation proposée ; on aura
Développons la fonction suivant les puissances de on aura généralement, en rapportant les fonctions dérivées à la seule variable
donc, faisant cette substitution, on aura, à cause de