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soit l’équation primitive du premier ordre, et que $\varphi$ ou $\varphi (x,y,y')$ soit la valeur de $a$ tirée de l’équation prime

$\operatorname {F} '(x,y,y')=0.$

On a vu, en même temps, que l’équation primitive singulière est donnée alors par l’équation

$\operatorname {F} '(\varphi )=0.$

Supposons maintenant que l’équation proposée soit réduite à la forme

$y''+f(x,y,y')=0.$

Donc, si dans l’équation

$\operatorname {F} '(x,y,y',\varphi )=0$

on substitue pour $y''$ sa valeur $-f(x,y,y'),$ on aura une équation identique dont, par conséquent, la dérivée aura lieu par rapport à chacune des variables $x,y,y'$ en particulier.

Ainsi, comme la fonction $y''$ n’est contenue que dans la fonction $\varphi ,$ on aura ces trois équations :

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(x\,)-&\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')f'(x\,)=0,\\\operatorname {F} '(y\ )-&\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')f'(y\ )=0,\\\operatorname {F} '(y')-&\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')f'(y')=0\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}f'(x\,)=&{\frac {\operatorname {F} '(x\,)}{\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')}},\\f'(y\ )=&{\frac {\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')}},\\f'(y')=&{\frac {\operatorname {F} '(y')}{\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')}}.\end{aligned}}$

L’équation primitive singulière étant donnée par l’équation

$\operatorname {F} '(\varphi )=0,$

il s’ensuit qu’elle rendra infinies les trois fonctions dérivées $f'(x),f'(y),$$f'(y'),\ldots .$