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$f'(x)$ et $f'(y)$ infinies satisfait en même temps à la proposée

$y'+f(x,y)=0,$

elle en sera l’équation primitive singulière.

L’équation

$y'-{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y}}=0,$

qu’on a déjà considérée plus haut, donne

$f(x,y)=-{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y}},$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}f'(x)=&-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y}}+{\frac {x^{2}}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y\right)}},\\f'(y)=&-{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y\right)}}.\end{aligned}}$

Ces deux quantités deviennent infinies par la supposition de

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y=0,$

ainsi que par celle de

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}=0\,;$

la première donne

$x^{2}-b=0,$

valeur qui ne peut satisfaire à la proposée qu’en faisant

$b=0\,;$

la seconde donne

$x^{2}+y^{2}-b=0,$

équation qui satisfait à la proposée, et qui en est, par conséquent, l’éduation primitive singulière, comme on l’a déjà vu plus haut.

Appliquons la même théorie aux équations du second ordre ; on a vu qu’elles peuvent être représentées par

$\operatorname {F} '(x,y,y',\varphi )=0,$

en supposant que

$\operatorname {F} (x,y,y',a)=0$