fonction
de l’ordre suivant, et la faire
en égalant séparément le numérateur et le dénominateur à zéro, et éliminer ensuite de ces deux équations la fonction
au moyen de la proposée.
Si ces deux éliminations donnent un même résultat, ce sera l’équation cherchée.
Nous avons vu plus haut que l’équation du second ordre
![{\displaystyle y''^{2}-{\frac {2y'y''}{x}}+1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3392ca82ec5bcec2cfd4494b01379812f3fe0709)
a pour dérivée une équation résoluble en facteurs dont l’un, qui n’est que du second ordre, donne sur-le-champ l’équation primitive singulière par l’élimination de
Mais, si la même équation était proposée sous la forme
![{\displaystyle xy''^{2}-2y'y''+x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db758394a7d11530b0d0f3625f49885095ef5c6)
sa dérivée
![{\displaystyle 2(xy''-y')y'''-y''^{2}+1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c7a377f93f94565547e919793fe0415f594b4b)
ne présenterait plus de facteur.
Or elle donne
![{\displaystyle y'''={\frac {y''^{2}-1}{2(xy''-y')}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac83f5936d2762f1547e0472aea0694042186a37)
Égalant à zéro séparément le numérateur et le dénominateur, on a ces deux équations
![{\displaystyle y''^{2}-1=0\quad {\text{et}}\quad xy''-y'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb91dd5570417c33e6aeddb2a7612b1bfc078fe)
La première donne
ce qui, étant substitué dans la proposée, donne
![{\displaystyle 2(x\pm y')=0\quad {\text{ou}}\quad y'^{2}-x^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea356ef07f67ebe480b3ddee3b9477893d50f56f)
La deuxième donne
![{\displaystyle y''={\frac {y'}{x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86808fdd82a2fc296055ef66aa2375749528bb09)
dont la substitution dans la proposée donne
![{\displaystyle -{\frac {y'^{2}}{x}}+x=0,\quad {\text{savoir,}}\quad y'^{2}-x^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3abb92c0c297450ff2a6ed2ba48e24fef58f09d9)