On peut appliquer ce procédé à l’exemple que nous avons traité ci-dessus.
Soit encore l’équation du premier ordre
![{\displaystyle (xy'-y)(xy'-2y)+x^{3}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ca4ebeba6978a2d7cfbe04ef392140d194c438)
sa dérivée sera
![{\displaystyle x(2xy'-3y)y''-xy'^{2}+yy'+3x^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a1073ce587d43d88b2ec90dbab56113e1a2a80)
d’où l’on tire
![{\displaystyle y''={\frac {xy'^{2}-yy'-3x^{2}}{x(2xy'-3y)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7288331bb523de8561d4dafbfbe41c789181ba)
Faisant cette expression
on aura les deux équations
![{\displaystyle xy'^{2}-yy'-3x^{2}=0,\quad 2xy'-3y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c495cee8d80e72a8e19bcc2e428f2dc8d69e023)
d’où il faudra éliminer
par le moyen de la proposée. La seconde donne
![{\displaystyle y'={\frac {3y}{2x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0af98e45fbca063f09a93a4340c32a8c85c8d)
cette valeur, substituée d’abord dans la première, donne celle-ci
![{\displaystyle {\frac {3y^{2}}{4x}}-3x^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128d25d1a1cda30cdddedb6406621edccd37303d)
et, substituée dans la proposée, elle donne
![{\displaystyle -{\frac {y^{2}}{4}}+x^{3}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85525fb93677b2cced0d5d83f8c8092018976ba7)
ces deux équations se réduisent, comme l’on voit, l’une et l’autre à celle-ci
![{\displaystyle y^{2}-4x^{3}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1512d3e41c09c2e7fbb2f84c74a50b005951c81)
qui sera, par conséquent, l’équation primitive singulière de la proposée.
On peut s’en assurer, en effet, par l’équation primitive qui est
![{\displaystyle y-ax-{\frac {x^{2}}{a}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fbc3d9acf7f26ce5f6b6371e530325e9e218fe0)