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valeur qui, étant substituée dans la proposée, donne

$-{\frac {y'^{2}}{x^{2}}}+1=0,\quad {\text{savoir,}}\quad x^{2}-y'^{2}=0,$

comme nous l’avons trouvé dans la Leçon précédente.

L’autre facteur donnera l’équation du troisième ordre

$y'''-{\frac {y''}{x}}=0,$

qui, étant divisée par $x,$ a pour primitive du second ordre

${\frac {y''}{x}}={\frac {1}{a}},$

$a$ étant une constante arbitraire ; celle-ci donne

$y''={\frac {x}{a}}\,;$

substituant cette valeur dans la proposée, on a

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {2y'}{a}}+1=0,\quad {\text{ou}}\quad x^{2}-2ay'+a^{2}=0,$

équation primitive, comme on l’a vu dans la Leçon citée.

Le même procédé s’applique aux équations d’un ordre quelconque ; et l’on en peut conclure, en général, que toute équation dérivée est susceptible d’une forme telle que sa dérivée ait deux facteurs, dont l’un réponde à l’équation primitive ordinaire, et dont l’autre donne immédiatement l’équation primitive singulière, s’il y en a une ; ce qui jette un nouveau jour sur la nature des équations primitives singulières car il est évident que les deux facteurs de l’équation dérivée, étant indépendants l’un de l’autre, doivent satisfaire chacun en particulier à cette équation, et par conséquent aussi à son équation primitive proposée.

En même temps on voit que le facteur qui donne l’équation primitive singulière, et qui est du même ordre que la proposée, ne pourra pas satisfaire aux équations des ordres supérieurs, puisqu’il ne satisfait pas à celle qui résulte de l’autre facteur, et qui contient seule les fonctions dérivées d’un ordre plus élevé que la proposée.