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Le facteur du second ordre ${\frac {1}{y'}}-{\frac {xy''}{y'^{2}}},$ étant fait égal à zéro, donnera

$y''={\frac {y'}{x}}.$

On aurait aussi facilement par ce facteur l’équation primitive ; car, étant la fonction dérivée exacte de ${\frac {x}{y'}},$ il donnera tout de suite l’équation primitive du premier ordre

${\frac {x}{y'}}=a\,;$

multipliant par $2y',$ et prenant de nouveau les fonctions primitives, il vient

$x^{2}=2ay+c,$

$a$ et $c$ étant des constantes arbitraires ; mais la proposée n’étant que du premier ordre ne peut avoir qu’une constante arbitraire ; il faut donc qu’il y ait une relation entre ces deux arbitraires ; pour la trouver il faut substituer dans la proposée les valeurs de $y$ et $y'$ tirées des équations primitives que nous venons de trouver. Ces valeurs sont ${\frac {x^{2}-c}{2a}}$ et ${\frac {x}{a}},$ et l’on aura

$x^{2}-b-x^{2}+c-a^{2}=0,\quad \mathrm {et\ de\ l{\grave {a}}} \quad c=a^{2}+b\,;$

de sorte que l’équation primitive sera

$x^{2}=2ay+a^{2}+b,$

comme ci-dessus.

Il n’est pas même nécessaire de passer à une seconde équation primitive car ayant trouvé ${\frac {x}{y'}}=a,$ il n’y a qu’à substituer tout de suite la valeur de $y'={\frac {x}{a}}$ dans la proposée du premier ordre, et l’on aura aussi

$x^{2}-b-2ay-a^{2}=0.$

Considérons les équations du second ordre. Soit

$\operatorname {F} (x,y,y',a)=0$