En prenant la dérivée de celle-ci, on a
![{\displaystyle x-{\frac {y}{y'}}-x+{\frac {xyy''}{y'^{2}}}-{\frac {x}{y'^{2}}}+{\frac {x^{2}y''}{y'^{3}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce599bf926ac9583f5e14686439c9a9b4243fd7)
équation qui se réduit à
![{\displaystyle \left({\frac {y}{y'}}+{\frac {x}{y'^{2}}}\right)\left({\frac {xy''}{y'}}-1\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4ba7ba540430548fddf37b1dc3f2f8c00c3646)
comme nous l’avons déjà ohservé dans la Leçon XII.
En la mettant sous la forme
![{\displaystyle \left({\frac {1}{y'}}-{\frac {xy''}{y'^{2}}}\right)\left(y+{\frac {x}{y'}}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4089db7a18daa8acaa16ff2014bfb400175748)
on voit qu’elle revient à
![{\displaystyle \varphi '\operatorname {F} '(\varphi )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/095551f624ffd89d14557e792551437e10af6bc5)
en supposant
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a)=x^{2}-2ay-a^{2}-b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87aa4fcd304e804b99eee82467ce66551143994)
et prenant pour
la valeur de
tirée de l’équation prime
![{\displaystyle x-ay'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cfe24840bea76ffe66fb68c83344fdd9a07f3be)
Le facteur du premier ordre donne l’équation
![{\displaystyle y+{\frac {x}{y'}}=0,\quad \mathrm {d'o{\grave {u}}} \quad y'=-{\frac {x}{y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cffe3245e41668222c976787d9e27ef3b747f94)
valeur qui, étant substituée dans l’équation du premier ordre, la réduit à
![{\displaystyle x^{2}-b+2y^{2}-y^{2}=0,\quad {\text{ou}}\quad x^{2}+y^{2}-b=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206bbee890644cd4dee7edb540bb0e4bf723eabf)
équation primitive singulière, comme nous l’avons déjà trouvée ; car l’équation dérivée, que nous considérons ici, est la même que l’équation
![{\displaystyle y'{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-yy'-x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d08c7dfc72e7a67d54caf3ecc2ed78ed89e303)
que nous avons considérée dans le premier exemple de la Leçon précédente mais, sous cette forme, elle n’aurait pas son équation prime décomposable en deux facteurs.