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en déterminant $a$ et $b$ par les deux conditions

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '(b)=0,$

qui sont celles de l’équation primitive singulière double.

Comme la fonction dérivée $\operatorname {F} '(x,y),$ étant développée, renferme les variables $x,y,y'$ et les deux constantes $a$ et $b,$ désignons-la par $\varphi (x,y,y',a,b)\,;$ il est clair que la troisième équation

$\operatorname {F} ''(x,y)=0,$

où $a$ et $b$ sont regardées comme constantes, sera représentée par

$\varphi '(x,y,y')=0\,;$

mais, dans le cas où ces quantités sont variables, elle deviendra

$\varphi '(x,y,y')+a'\varphi '(a)+b'\varphi '(b)=0,$

qui ne se réduit plus à

$\varphi '(x,y,y')=0,$

parce que les deux fonctions $\varphi '(a)$ et $\varphi '(b)$ ne sont pas nulles.

Ainsi il est impossible que l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

dans laquelle $a$ et $b$ sont des fonctions de $x$ et $y,$ déterminées par les conditions

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0,$

satisfasse généralement à l’équation du second ordre qui résulte de la même équation par l’élimination des quantités $a$ et $b,$ au moyen de ses deux dérivées, première et seconde, prises en regardant $a$ et $b$ comme constantes.

On peut étendre cette théorie aux équations primitives des équations des ordres supérieurs.

Ainsi, si l’on a l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0,$