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même équation, elle deviendra nécessairement identique par conséquent ses équations dérivées, relatives à

$x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}$

en particulier, auront lieu aussi.

On aura donc

${\begin{aligned}&\operatorname {F} '(x\,)+\operatorname {F} '(a)\Phi '(x\,)=0,\\&\operatorname {F} '(y\ )+\operatorname {F} '(a)\Phi '(y\,)=0,\\&\operatorname {F} '(y')+\operatorname {F} '(a)\Phi '(y')=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où j’ai conservé, sous le signe $\operatorname {F} ',$ la lettre $a$ à la place de sa valeur

$\Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right).$

De là on déduira

${\begin{aligned}&\Phi '(x\,)=-{\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(a)}},\\&\Phi '(y\,)=-{\frac {\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(a)}},\\&\Phi '(y')=-{\frac {\operatorname {F} '(y')}{\operatorname {F} '(a)}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}$

Donc, puisque la quantité $\operatorname {F} '(a)$ devient nulle dans le cas de l’équation primitive singulière, il s’ensuit que, dans ce même cas, les valeurs de

$\Phi '(x),\ \ \Phi '(y),\ \ \Phi '(y'),\ \ \ldots ,\ \ \Phi '\left(y^{(n-1)}\right)$

deviendront chacune infinie.

Ce caractère fournit aussi un moyen général de trouver l’équation primitive singulière ; et ce moyen est surtout utile, lorsque l’équation primitive est sous la forme

$\Phi \left(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=a,$

laquelle paraît échapper à la règle générale établie ci-dessus, car on aurait ici

$\operatorname {F} \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=\Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)-a$