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qui est, par conséquent, l’équation primitive singulière de la proposée du second ordre.

On aura le même résultat en éliminant immédiatement $a,b$ et $b',$ au moyen de l’équation primitive

$y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-a^{2}-b^{2}=0,$

de sa première dérivée

$y'-ax-b=0$

et de leurs deux dérivées par rapport à $a,$

${\frac {x^{2}}{2}}+2a+(x+2b)b'=0,\quad x+b'=0.$

Ces deux-ei donnent, en éliminant $b',$

${\frac {x^{2}}{2}}+2a-(x+2b)x=0.$

En combinant celle-ci avec la seconde, on trouve

$a={\frac {x^{2}+4xy'}{4\left(1+x^{2}\right)}},\quad b={\frac {4y'-x^{3}}{4\left(1+x^{2}\right)}}\,;$

et, ces valeurs étant substituées dans la première, il vient

$y\left(1+x^{2}\right)+{\frac {x^{4}}{16}}-\left({\frac {x^{3}}{2}}+x\right)y'-y'^{2}=0,$

comme ci-dessus.

Si de l’équation primitive

$\operatorname {F} \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},a\right)=0$

on tire la valeur de $a$ en fonction de

$x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},$

et qu’on la désigne par

$\Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right),$

il est clair qu’en substituant cette fonction à la place de $a,$ dans la