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Ainsi on aura les deux constantes primitives du premier ordre, en substituant alternativement, dans la même équation

$\varphi (x,y,y',a,b)=0,$

la valeur de $b$ en $x,y,a,$ et la valeur de $a$ en $x,y$ et $b,$ tirées de la même équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0.$

Ensuite on aura les équations primitives singulières, en éliminant $a$ de la première par le moyen de son équation dérivée, prise relativement à $a,$ et en éliminant $b$ de la seconde par le moyen de son équation dérivée, prise relativement à $b.$

Considérons d’abord, dans l’équation

$\varphi (x,y,y',a,b)=0,$

la quantité $b$ comme une fonction de $x,y,a,$ déterminée par l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0\,;$

son équation dérivée, prise relativement à $a,$ sera

$\varphi '(a)+b'\varphi '(b)=0,$

en supposant que $b'$ soit la fonction dérivée de $b,$ prise relativement à $a\,;$ or, comme $b$ est une fonction de $a,$ déterminée par l’équation,

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

on aura la valeur de $b',$ en prenant la dérivée de cette équation par rapport à $a,$ opération qui donne

$\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)=0.$

Si maintenant on élimine $b'$ de ces deux équations, on a

$\varphi '(a)\operatorname {F} '(b)-\varphi '(b)\operatorname {F} '(a)=0.$

Cette équation, étant combinée avec les deux

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y,y',a,b)=0,$