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Cette équation donne ces deux-ci

$y-xy'=0\quad {\text{et}}\quad x^{2}-y'^{2}=0.$

La première ne satisfait pas à la proposée, car elle donne c’est la même que nous avons trouvée ci-dessus.

$y'={\frac {y}{x}},$

et, de là,

$y''={\frac {y'}{x}}-{\frac {y}{x^{2}}}={\frac {y}{x^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}}}=0.$

La seconde donne

$y'=\pm x\,;$

c’est la même que nous avons trouvée ci-dessus.

Ainsi les deux équations primitives du premier ordre ne donnent que la même équation singulière.

Il serait cependant naturel de penser que des équations primitives différentes devraient donner aussi différentes valeurs singulières ; mais nous allons démontrer, a priori, que l’on a toujours la même équation primitive singulière, de quelque équation primitive qu’on la déduise ; ce qu’on ne savait pas jusqu’ici.

Considérons une équation du second ordre ; représentée en général par

$f(x,y,y',y'')=0,$

et dont l’équation primitive entre $x$ et $y$ soit

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

$a$ et $b$ étant les deux constantes arbitraires.

Par la théorie générale, on aura ses deux équations primitives du premier ordre, en éliminant $a$ ou $b,$ par le moyen de cette même équation et de sa première équation dérivée

$\operatorname {F} '(x,y)=0,$

$a$ et $b$ étant ici regardées comme constantes.

Comme la fonction dérivée $\operatorname {F} '(x,y)$ renferme, outre les constantes $a$ et $b,$ la fonction $y',$ désignons-la par $\varphi (x,y,y',a,b).$