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et, dans le cas où $a$ serait une fonction quelconque de $x,$ elle sera

$\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)+a'\operatorname {F} '(a)=0\,;$

donc les deux équations deviendront identiques si l’on détermine $a$ de manière que le terme $a'\operatorname {F} '(a)$ disparaisse.

Faisant donc

$a'\operatorname {F} '(a)=0,$

on a ou

$a'=0,$

et par conséquent $a$ égal à une constante, ce qui est le cas ordinaire ; ou

$\operatorname {F} '(a)=0,$

ce qui donnera une valeur de $a$ en $x$ et $y,$ laquelle, étant substituée dans l’équation primitive

$\operatorname {F} \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},a\right)=0,$

donnera une équation du même ordre, qui satisfera également à l’équation

$f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0\,;$

elle pourra donc être regardée aussi comme une équation primitive singulière sans constante arbitraire.

L’équation du second ordre

$y''^{2}-{\frac {2y'y''}{x}}+1=0$

a pour équation primitive du premier ordre

$x^{2}-2ay'+a^{2}=0,$

comme on peut s’en assurer en éliminant $a$ au moyen de son équation dérivée

$x-ay''=0.$

Si l’on prend l’équation dérivée relativement à $a,$ on a

$-y'+a=0\,;$