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dont

$\operatorname {F} (x,y,a)=0$

est l’équation primitive ordinaire.

Nous appellerons cette équation équation primitive singulière, pour la distinguer de l’équation primitive ordinaire, que nous appellerons aussi équation primitive complète.

Il faut seulement remarquer que, comme l’essence de cette équation consiste en ce que la valeur de $a$ est une fonction variable, si l’équation

$\operatorname {F} '(a)=0,$

par laquelle on doit déterminer $a,$ donnait pour $a$ une quantité constante, ou bien une telle fonction de $x$ et $y$ qui devînt égale à une constante en vertu de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

dans laquelle on doit substituer cette valeur de $a,$ ou qui, dans cette substitution, donnât le même résultat qu’on aurait par une valeur constante de $a,$ alors cette équation cesserait d’être une équation primitive singulière, et ne serait plus qu’un cas particulier de l’équation primitive ordinaire.

Nous avons trouvé (Leçon XII) que l’équation du premier ordre

$y'{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-yy'-x=0$

a pour équation primitive

$x^{2}-2ay-a^{2}-b=0,$

où $a$ est la constante arbitraire. Faisant donc

$\operatorname {F} (x,y,a)=x^{2}-2ay-a^{2}-b,$

et prenant les fonctions dérivées de tous les termes relativement à $a$ seul, on aura

$\operatorname {F} '(a)=-2y-2a\,;$