d’où l’on tire, sur-le-champ, l’équation primitive du premier ordre
![{\displaystyle xy'-2y+\mathrm {A} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba6f1fe168c069c039d8ef0772446fae606dd7d)
étant une constante arbitraire.
Pour avoir l’équation primitive de celle-ci, je cherche un multiplicateur qui rende son premier membre une fonction dérivée exacte, et il est facile de voir que cela aura lieu en divisant l’équation par
de sorte que le multiplicateur sera
En effet, elle devient par là
![{\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}+{\frac {\mathrm {A} }{x^{3}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ff9d67eb9396c8aff7127b6c32f842c6768f12)
et la fonction primitive du premier membre est
![{\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}-{\frac {\mathrm {A} }{2x^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4064caf877d922dd38b901deab85efe3339a0430)
de sorte qu’on aura l’équation primitive
![{\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}-{\frac {\mathrm {A} }{2x^{2}}}+\mathrm {B} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe8e7a1513a6e0c064aa7f03d705ffd69696282)
savoir, en multipliant par ![{\displaystyle x^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff2ec7e8a464049d38873949075113b2722c9f8c)
![{\displaystyle y+\mathrm {B} x^{2}-{\frac {\mathrm {A} }{2}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d20b2f7040497a21d2d0c22a3c995ef5be6b40)
étant une nouvelle constante arbitraire.
Cette équation, contenant ainsi deux constantes arbitraires
et
sera l’équation primitive complète de l’équation proposée du second ordre ; et l’on voit, en effet, qu’elle coïncide avec l’équation
![{\displaystyle x^{2}-2ay+a^{2}+b=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8706ec9d640a855d688d20d6b7b5bda59491e875)
d’où la proposée avait été dérivée, puisqu’il n’y a qu’à la diviser par
et faire
![{\displaystyle \mathrm {B} =-{\frac {1}{2a}},\quad -\mathrm {\frac {A}{2B}} =a^{2}+b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f483f2b0707bbebeeff289ba6e99cf8667fd9b0)
Mais, au lieu de chercher, comme on vient de le faire, l’équation