en supposant et déterminés par les deux équations
et le premier membre de l’équation deviendra alors de sorte que l’on aura sur-le-champ l’équation primitive
De même, si l’on prend une autre fonction quelconque et représentée par on en tirera de même l’équation primitive
Ces deux équations-donneront donc et égales à des constantes, quelles que soient les fonctions désignées par les caractéristiques et ce qui redonnera les mêmes équations primitives d’où l’on était parti ; d’où l’on voit comment ces équations se trouvent indépendantes des fonctions arbitraires qui peuvent entrer dans les multiplicateurs.
On peut appliquer cette théorie aux équations dérivées des ordres supérieurs au second, et en tirer des conclusions semblables.
On peut donc toujours trouver la forme générale des multiplicateurs lorsqu’on connaît les équations primitives ; mais, comme ces multiplicateurs fournissent eux-mêmes un moyen de parvenir aux équations primitives, il serait important de pouvoir les trouver a posteriori, d’après les équations dérivées. Euler et d’autres après lui se sont occupés de cette recherche ; mais c’est un de ces problèmes dont on ne saurait espérer une solution générale.
Pour donner un exemple de ce que nous venons d’exposer, prenons l’équation du second ordre
que nous avons trouvée plus haut. J’observe d’abord que, dans l’état où elle est, son premier membre est déjà une fonction dérivée exacte ; car, puisque
on a
de sorte qu’on peut la mettre sous la forme
