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en substituant ici, à la place de $a,$ sa valeur en $x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},$ tirée de l’équation primitive.

Considérant donc $a$ comme une pareille fonction déterminée par l’équation primitive

$\operatorname {F} \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},a\right)=0,$

on aura, pour la détermination de $a',$ l’équation dérivée

$\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},a\right)=0,$

laquelle, en séparant la partie qui se rapporte à $a',$ suivant la notation employée ci-dessus, devient

$\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)+a'\operatorname {F} '(a)=0,$

d’où l’on tire

$-a'={\frac {\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)}{\operatorname {F} '(a)}}=\left[y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)\right]{\frac {\operatorname {F} '\left(y^{(n-1)}\right)}{\operatorname {F} '(a)}},$

équation qui sera identique en substituantpour $a$ sa valeur en $x,y,\ldots .$

Si donc on multiplie l’équation

$y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0$

par la fonction ${\frac {\operatorname {F} '\left(y(n-1)\right)}{\operatorname {F} '(a)}},$ son premier membre deviendra une fonction dérivée exacte, dont la fonction primitive sera $-a,$ en supposant $a$ déterminé par l’équation

$\operatorname {F} \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},a\right)=0.$

On est donc assuré, de cette manière, de l’existence d’un multiplicateur qui peut rendre le premier membre de l’équation proposée une fonction dérivée exacte.

La même équation identique nous fait voir aussi que ce multiplicateur n’est pas le seul qui jouisse de cette propriété, et nous donne en même temps le moyen de trouver tous les multiplicateurs qui auront la même propriété ; car il est évident que, le premier membre de l’équation devenant égal à $-a',$ il sera toujours une fonction dérivée