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Donc l’équation

$y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,$

étant multipliée par la fonction $\operatorname {F} '\left(y^{(n-1)}\right),$ deviendra

$\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,$

en sorte que son premier membre sera une fonction dérivée exacte.

Ainsi il existe toujours une fonction d’un ordre inférieur à celui (le l’équation proposée, par laquelle cette équation étant multipliée, son premier membre devient une fonction dérivée exacte.

Comme cette proposition est fondamentale, et donne lieu à des conséquences importantes, nous allons la considérer sous un point de vue plus étendu.

Soit

$\operatorname {F} \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},a\right)=0$

l’équation primitive de la même équation dérivée

$y^{(n)}+f\left(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,$

$a$ étant la constante arbitraire.

Par la théorie générale, on aura l’équation dérivée de la primitive supposée, en éliminant $a$ au moyen de l’équation

$\operatorname {F} \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},a\right)=0$

et de sa dérivée immédiate

$\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,$

$a$ étant regardée comme constante.

De là il est facile de conclure, comme ci-dessus, que la fonction

$y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)$

deviendra identique avec

${\frac {\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)}{\operatorname {F} '\left(y^{(n-1)}\right)}},$