Donc l’équation
![{\displaystyle y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181cea2431c691fc907e56ea61e462756220ecd8)
étant multipliée par la fonction
deviendra
![{\displaystyle \operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d540a5cd7a2674c91b6b97df13051b7c61c3372)
en sorte que son premier membre sera une fonction dérivée exacte.
Ainsi il existe toujours une fonction d’un ordre inférieur à celui (le l’équation proposée, par laquelle cette équation étant multipliée, son premier membre devient une fonction dérivée exacte.
Comme cette proposition est fondamentale, et donne lieu à des conséquences importantes, nous allons la considérer sous un point de vue plus étendu.
Soit
![{\displaystyle \operatorname {F} \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},a\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74322340553ed757d775df2962b2a266be42fbca)
l’équation primitive de la même équation dérivée
![{\displaystyle y^{(n)}+f\left(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9218787a70be865a3464801b0cc1e53ceed7b9dc)
étant la constante arbitraire.
Par la théorie générale, on aura l’équation dérivée de la primitive supposée, en éliminant
au moyen de l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},a\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74322340553ed757d775df2962b2a266be42fbca)
et de sa dérivée immédiate
![{\displaystyle \operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d540a5cd7a2674c91b6b97df13051b7c61c3372)
étant regardée comme constante.
De là il est facile de conclure, comme ci-dessus, que la fonction
![{\displaystyle y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa37c1b80e21b8955ed1ef5222f9804b3180ee5)
deviendra identique avec
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)}{\operatorname {F} '\left(y^{(n-1)}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b73a06f2401801b2366c11bc5161e68adacccf)