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Donc, faisant de nouveau

$f(x)=y,\quad f'(x)=y',\quad f''(x)=y'',\quad \ldots ,\quad {\text{et}}\quad i=-x,$

ce qui donnera

$f'(x+i)=f'(x-x),$

valeur de $f'(x)$ ou de $y',$ lorsque $x=0,$ que nousavons désignée par $y{^{0}}{'},$ on aura cette autre formule

$y{^{0}}{'}=y'-xy''+{\frac {x^{2}}{2}}y'''-{\frac {x^{3}}{2.3}}y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots .$

et ainsi de suite.

Cela posé, si $y$ est donnée par une équation du premier ordre, on aura les valeurs de $y',y'',y''',\ldots ,$ toutes données en $x$ et $y,$ comme on l’a vu plus haut ; si on les substitue dans la formule

$y^{0}=y-xy'+{\frac {x^{2}}{2}}y''-{\frac {x^{3}}{2.3}}y'''+\ldots ,$

on aura une équation entre $x$ et $y$ avec la constante arbitraire $y^{0}.$

Si $y$ est donnée par une équation du second ordre, on aura $y'',y''',y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$ données en $x,y$ et $y'\,;$ donc, substituant ces valeurs dans les deux formules

${\begin{aligned}y^{0}\ =&y\ -xy'\ +{\frac {x^{2}}{2}}y''\ -{\frac {x^{3}}{2.3}}y'''+\ldots ,\\y{^{0}}{'}=&y'-xy''+{\frac {x^{2}}{2}}y'''-{\frac {x^{3}}{2.3}}y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

on aura deux équations en $x,y$ et $y',$ ayant chacune une des constantes arbitraires $y^{0}$ et $y{^{0}}{'},$ lesquelles seront également deux équations primitives du premier ordre de la proposée du second ordre, et ainsi de suite.

Quoique ces équations soient en séries, les conclusions qu’on peut tirer relativement à la nature des équations primitives n’en sont pas