Donc, faisant de nouveau
![{\displaystyle f(x)=y,\quad f'(x)=y',\quad f''(x)=y'',\quad \ldots ,\quad {\text{et}}\quad i=-x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c6b2d1536f5960da69d584ce5dde52204874de)
ce qui donnera
![{\displaystyle f'(x+i)=f'(x-x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581122d1d0339ed44375593f754123bd355d4e63)
valeur de
ou de
lorsque
que nousavons désignée par
on aura cette autre formule
![{\displaystyle y{^{0}}{'}=y'-xy''+{\frac {x^{2}}{2}}y'''-{\frac {x^{3}}{2.3}}y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6c5d3b08f4ff931eba933390bc422078f828a4)
et ainsi de suite.
Cela posé, si
est donnée par une équation du premier ordre, on aura les valeurs de
toutes données en
et
comme on l’a vu plus haut ; si on les substitue dans la formule
![{\displaystyle y^{0}=y-xy'+{\frac {x^{2}}{2}}y''-{\frac {x^{3}}{2.3}}y'''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906364d366c82dfefc0e8abcf6c67e6374982f41)
on aura une équation entre
et
avec la constante arbitraire ![{\displaystyle y^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f4ed8ce8d8cd2a04ce6b85807203526673ec03)
Si
est donnée par une équation du second ordre, on aura
données en
et
donc, substituant ces valeurs dans les deux formules
![{\displaystyle {\begin{aligned}y^{0}\ =&y\ -xy'\ +{\frac {x^{2}}{2}}y''\ -{\frac {x^{3}}{2.3}}y'''+\ldots ,\\y{^{0}}{'}=&y'-xy''+{\frac {x^{2}}{2}}y'''-{\frac {x^{3}}{2.3}}y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d722344a90d88fc8b4bb34f91083ee65047170dd)
on aura deux équations en
et
ayant chacune une des constantes arbitraires
et
lesquelles seront également deux équations primitives du premier ordre de la proposée du second ordre, et ainsi de suite.
Quoique ces équations soient en séries, les conclusions qu’on peut tirer relativement à la nature des équations primitives n’en sont pas