d’où l’on tire
![{\displaystyle a={\frac {1}{y''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2899373440a2b51a0a37cffa94e852ea3b60ef22)
et cette valeur, substituée dans la précédente, donnera
![{\displaystyle x-{\frac {y'}{y''}}=0,\quad {\text{ou}}\quad xy''-y'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d16777a2ae0c011ff7e6a56f6b0848f226bd83c6)
équation du second ordre dont l’équation
![{\displaystyle x^{2}-2ay-a^{2}-b=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a9c79a54538e722ba5e6f80749d6eec349dcaf4)
sera la primitive absolue,
et
étant les deux constantes arbitraires.
On parviendrait à la même équation en faisant disparaître
de l’équation du premier ordre
![{\displaystyle y'{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-yy'-x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d12faedd1bb1e778adcf39498221e12b242e82)
trouvée plus-haut ; car, en prenant les fonctions dérivées, on aura
![{\displaystyle y''{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}+{\frac {y'(x+yy')}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}}-yy'-y'^{2}-1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2125c3e015bdc67a21167f1a56c995966d41c53)
en éliminant
au moyen de la précédente, il viendra
![{\displaystyle \mathrm {\frac {y''(yy'+x)}{y'}} +y'^{2}-yy'-y'^{2}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eb3509fe0a686c2d92f7ae80b9e370ce3febf64)
savoir, comme on l’a vu plus haut,
![{\displaystyle {\frac {y''x}{y'}}-1=0,\quad {\text{ou}}\quad y''x-y'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c583e794385c5af6424b6f9a0563f3362aba72)
On voit aussi que cette même équation du second ordre a deux équations primitives du premier ordre, savoir :
![{\displaystyle x-ay'=0\quad {\text{et}}\quad y'{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-yy'-x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d10484b4bc7aa2f306037d76ba3ea77d8c9d68e)
où
et
sont les deux constantes arbitraires ; et ces deux-ci, par l’élimination de la fonction dérivée
donneront l’équation primitive