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dont l’équation primitive sera

$y+ax+c{\sqrt {1+a^{2}}}=0,$

où $a$ est la constante arbitraire.

Soit, encore l’équation

$x^{2}-2ay-a^{2}-b=0\,;$

sa dérivée sera

$x-ay'=0,$

équation du premier ordre dont la proposée est l’équation primitive, et où $b$ sera la constante arbitraire.

Mais, si l’on veut que la constante arbitraire soit $a,$ alors il faudra éliminer $a\,;$ or l’équation dérivée donne

$a={\frac {x}{y'}}\,;$

donc, substituant cette valeur dans la proposée, elle donnera

$x^{2}-{\frac {2xy}{y'}}-{\frac {x^{2}}{y'^{2}}}-b=0,$

ou bien

$\left(x^{2}-b\right)y'^{2}-2xyy'-x^{2}=0,$

d’où l’on tire

$y'{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-yy'-x=0,$

équation du premier ordre dont la primitive sera

$x^{2}-2ay-a^{2}-b=0,$

$a$ étant la constante arbitraire.

Si l’on voulait éliminer à la fois $a$ et $b,$ il faudrait employer les fonctions secondes. Ainsi, puisqu’on a déjà trouvé l’équation du premier ordre

$x-ay'=0,$

où $b$ ne se trouve plus, il n’y aura qu’à former l’équation dérivée de celle-ci, laquelle sera

$1-ay''=0,$