Pour se convaincre d’une manière plus directe de la généralité de cette formule, il suffit de considérer que si, dans l’équation
on fait
et qu’on suppose que deux termes consécutifs et soient de la forme
elle donnera
Ainsi, pourvu que les deux premiers termes et soient de la forme en faisant et ce qui est en effet, tous les autres seront nécessairement de la même forme.
Maintenant les deux équations
donnent ces deux-ci
qui doivent donc avoir lieu en même temps ; par conséquent, il faut qu’elles aient une racine commune.
Ce dernier théorème a été donné par Moivre, sans démonstration, dans les Transactions philosophiques de 1722, année où a paru l’Harmonia mensurarum de Cotes, qui était mort six ans auparavant.
Soit maintenant la racine commune à ces deux équations ; comme elles demeurent les mêmes en y changeant en il s’ensuit que sera encore une racine commune aux mêmes équations ; mais l’équation