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d’où il est facile de voir que, lorsque $m$ est un nombre entier impair, on aura $\mathrm {A} =0,\ \mathrm {B} =\pm 2m,$ et, lorsque $m$ sera pair, on aura $\mathrm {A} =\pm 2,\ \mathrm {B} =0.$

Mais, pour avoir les valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ dégagées d’imaginaires pour toutes les valeurs de $m,$ il n’y a qu’à employer la formule générale

$\left(\cos x+\sin x{\sqrt {-1}}\right)^{m}=\cos mx+\sin mx{\sqrt {-1}},$

et y supposer $x$ égal à l’angle droit, car alors $\cos x=0$ et $\sin x=1\,;$ ainsi, en adoptant l’angle droit pour l’unité des angles, et prenant le radical ${\sqrt {-1}}$ en $+$ et en $-,$ on aura

$\left(\pm {\sqrt {-1}}\right)^{m}=\cos m\pm \sin m{\sqrt {-1}},$

et les valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ deviendraient

$\mathrm {A} =2\cos m,\quad \mathrm {B} =2m\cos(m-1).$

On aura donc en général, pour un nombre quelconque $m,$

$\cos mx=$

${\begin{aligned}&\left[1-{\frac {m^{2}}{2}}p^{2}+{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)}{2.3.4}}p^{4}-{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5.6}}p^{6}+\ldots \right]\cos m\\&+\left[mp-{\frac {m\left(m^{2}-1\right)}{2.3}}p^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4.5}}p^{5}-\ldots \right]\cos(m-1).\end{aligned}}$

Tel est le développement complet de $\cos mx$ en série ascendante de $p$ ou $\cos x.$ On voit que, lorsque $m$ est un nombre entier, il y a toujours une des deux séries partielles qui se termine, et que l’autre qui irait à l’infini disparaît parce qu’elle se trouve toute multipliée par un coefficient $\cos m$ ou $\cos(m-1),$ qui devient nul. On a alors l’unc ou l’autre des Tables (C) et (E). Mais, lorsque $m$ est une fraction quelconque, les deux séries vont à l’infini, et leur réunion est nécessaire pour avoir la valeur complète de $\cos mx,$ ce que personne, ce me semble, n’avait encore observé.

En prenant les fonctions dérivées, comme on a fait plus haut, pour