d’où il est facile de voir que, lorsque
est un nombre entier impair, on aura
et, lorsque
sera pair, on aura
Mais, pour avoir les valeurs de
et
dégagées d’imaginaires pour toutes les valeurs de
il n’y a qu’à employer la formule générale
![{\displaystyle \left(\cos x+\sin x{\sqrt {-1}}\right)^{m}=\cos mx+\sin mx{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b10ebb6b3fbb1b0c5f323383568f2ada8cd1fe3e)
et y supposer
égal à l’angle droit, car alors
et
ainsi, en adoptant l’angle droit pour l’unité des angles, et prenant le radical
en
et en
on aura
![{\displaystyle \left(\pm {\sqrt {-1}}\right)^{m}=\cos m\pm \sin m{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9a9c607874187d166900d827c453c2c67185992)
et les valeurs de
et
deviendraient
![{\displaystyle \mathrm {A} =2\cos m,\quad \mathrm {B} =2m\cos(m-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e544c7d4ff3ebdf8e9fec016793c25826db80e5)
On aura donc en général, pour un nombre quelconque
![{\displaystyle \cos mx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af9b1d2b86281748f587bc775392a592de46da8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[1-{\frac {m^{2}}{2}}p^{2}+{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)}{2.3.4}}p^{4}-{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5.6}}p^{6}+\ldots \right]\cos m\\&+\left[mp-{\frac {m\left(m^{2}-1\right)}{2.3}}p^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4.5}}p^{5}-\ldots \right]\cos(m-1).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41988cc603edca50b3c9ff87bef95a97f4b210b)
Tel est le développement complet de
en série ascendante de
ou
On voit que, lorsque
est un nombre entier, il y a toujours une des deux séries partielles qui se termine, et que l’autre qui irait à l’infini disparaît parce qu’elle se trouve toute multipliée par un coefficient
ou
qui devient nul. On a alors l’unc ou l’autre des Tables (C) et (E). Mais, lorsque
est une fraction quelconque, les deux séries vont à l’infini, et leur réunion est nécessaire pour avoir la valeur complète de
ce que personne, ce me semble, n’avait encore observé.
En prenant les fonctions dérivées, comme on a fait plus haut, pour