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Tables (C), (D), (E), (F), et pourra même servir à les compléter pour toutes les valeurs de $m.$

Supposons donc, en général,

$y=\mathrm {A} +\mathrm {B} p+\mathrm {C} p^{2}+\mathrm {D} p^{3}+\ldots .$

Substituant dans la même équation, et ordonnant suivant les puissances de $p,$ on aura

${\begin{aligned}m^{2}&\mathrm {A+2C} ,\\&+\left(m^{2}\mathrm {B-1B+2.3D} \right)p\\&+\left(m^{2}\mathrm {C-2C+3.4E-2C} \right)p^{2}\\&+\left(m^{2}\mathrm {D-3D+4.5F-2.3D} \right)p^{3}\\&+\left(m^{2}\mathrm {E-4E+5.6G-3.4E} \right)p^{4}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0.\end{aligned}}$

Égalant donc à zéro chacun des coefficients des puissances de $p,$ on aura, en réduisant,

${\begin{aligned}m^{2}\mathrm {A+2C} =0,&\\\left(m^{2}-\ \ 1\right)\mathrm {B+2.3D} =0,&\\\left(m^{2}-\ \ 4\right)\mathrm {C+3.4E} =0,&\\\left(m^{2}-\ \ 9\right)\mathrm {D+4.5F} =0,&\\\left(m^{2}-16\right)\mathrm {E+5.6G} =0,&\\..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en substituant successivement les valeurs précédentes,

${\begin{aligned}&\mathrm {C} =-{\frac {m^{2}\mathrm {A} }{2}},\\&\mathrm {D} =-{\frac {\left(m^{2}-1\right)\mathrm {B} }{2.3}},\\&\mathrm {E} ={\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)\mathrm {A} }{2.3.4}},\\&\mathrm {F} ={\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)\mathrm {B} }{2.3.4.5}},\\&\mathrm {G} =-{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)\mathrm {A} }{2.3.4.5.6}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$