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pour $\cos mx\,;$ on aura sur-le-champ, en changeant les signes et divisant par $2m,$

${\begin{aligned}\sin mx=&\left[(2p)^{m-1}-(m-2)(2p)^{m-3}+{\frac {(m-3)(m-4)}{2}}(2p)^{m-5}-\ldots \right]q\\&-\left[(2p)^{-m-1}+(m+2)(2p)^{-m-3}+{\frac {(m+3)(m+4)}{2}}(2p)^{-m-5}+\ldots \right]q.\end{aligned}}$

Cette expression se réduit aussi à une forme finie, lorsque $m$ est un nombre entier, par la destruction mutuelle des termes qui contiendraient des puissances négatives de $p\,;$ de sorte que, $m$ étant un nombre positif entier, il suffira de prendre dans la première série les termes qui contiendront des puissances positives de $p\,;$ ce qui s’accorde avec la formule de la Table (B).

Lorsque $m$ est un nombre fractionnaire, les deux séries vont à l’infini, et, jointes ensemble, elles donnent la vraie valeur de $\sin mx$ développée suivant les puissances descendantes de $\cos x,$ comme cela a lieu pour la valeur de $\cos mx.$

Euler a le premier reconnu cette espèce d’imperfection des formules connues des Tables (A) et (B) ; il a fait voir, par une analyse à peu près semblable à celle que nous venons de donner, que ces formules, pour être générales et applicables à des valeurs quelconques de $m,$ doivent être complétées par des valeurs semblables où l’exposant $m$ est négatif.

J’ai cru devoir entrer dans ce détail pour l’instruction des jeunes analystes, et surtout pour montrer que, si l’Analyse paraît quelquefois en défaut, c’est toujours faute de l’envisager d’une manière assez étendue et de la traiter avec toute la généralité dont elle est susceptible. (Voyez le Tome IX des Nova Acta de l’Académie de Pétersbourg.)

Nous venons de développer les expressions

$\left(p\pm {\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m},$

suivant les puissances descendantes de $p\,;$ on peut de même, et par le moyen de la même équation dérivée en $y,$ les développer suivant les puissances ascendantes de $p,$ ce qui nous donnera les formules des