On peut de cette manière avoir successivement tous les coefficients de la série ; mais on n’en aura pas la loi, ce qui est le plus essentiel.
Pour la trouver d’une manière générale, je reprends la formule en et je la suppose égale à ce qui me donne l’équation
Je remarque maintenant qu’un des principaux avantages des fonctions dérivées est de pouvoir faire disparaître dans les équations les puissances et les radicaux. En effet, en prenant les fonctions dérivées par rapport à et regardant comme fonction de on a
cette équation, divisée par l’équation primitive, donne
multipliant en croix et carrant, on aura
Prenant de nouveau les fonctions dérivées par rapport à on obtiendra
d’où, en divisant par résulte cette équation du second ordre en et
laquelle étant, comme l’on voit, linéaire par rapport à et dégagée de radicaux, est très propre au développement de en série.
En effet, il n’y a qu’à substituer pour la série
et par conséquent pour