LEÇON ONZIÈME.
Suite de l’analyse des sections angulaires, ou l’on démontre les formules générales des tables données dans la leçon précédente.
Reprenons les expressions générales de
et
données dans la Leçon précédente ; faisant
![{\displaystyle \cos x=p,\quad \mathrm {et\ par\ cons{\acute {e}}quent} \quad \sin x={\sqrt {1-p^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b111b24890ebf9fca2d6fe2e51c68cc9dd75119b)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos mx=&\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}+\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m},\\2\sin mx{\sqrt {-1}}=&\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}-\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d74584fafe7bce421ff9b97186f3166027139fd2)
Nous observerons d’abord que ces formules sont toujours vraies, quel que soit le nombre
parce qu’elles ont été déduites de l’équation générale
![{\displaystyle \cos x\pm \sin x{\sqrt {-1}}=e^{\pm x{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc8b995d7664f1cfb66f1ac378300aeef5ce9b2)
élevée à la puissance
Ainsi les doutes qui pourraient rester à cet égard disparaissent ici entièrement.
Tout se réduit donc à développer, suivant les puissances de
l’expression
![{\displaystyle \left(p\pm {\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c7c4d8518f49c58bbdd1843a3a00e3197ca85b)
Comme les quantités
et
sont les deux racines de l’équation
![{\displaystyle z^{2}-2pz+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a6fe6dbe5bc551f7f58fdea5dbabbb29681e216)
je ferai usage du théorème que j’ai démontré dans la Note XI de la