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À l’égard des signes ambigus, on prendra les signes supérieurs lorsque $m$ est de la forme $4n+2,$ et les inférieurs lorsque $m$ est de la forme $4n.$

Enfin on aura aussi, à cause de $p^{2}=1-q^{2}\,:$ 1^o Pour le cas de $m$ impair,

(G)

$\left\{{\begin{aligned}\cos 1x&=p,\\\cos 3x&=p\left(1-4q^{2}\right),\\\cos 5x&=p\left(1-12q^{2}+16q^{4}\right),\\\ldots \ldots &.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

et, en général,

$\cos mx=p\left[1-{\frac {m^{2}-1}{2}}q^{2}+{\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4}}q^{4}\right.$

$\left.-{\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)\left(m^{2}-25\right)}{2.3.4.5.6}}q^{6}+\ldots \right].$

Ensuite

(H)

$\left\{{\begin{aligned}\sin 1x=&q,\\\sin 3x=&3q-4q^{3},\\\sin 5x=&5q-20q^{3}+16q^{5},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

et, en général,

$\sin mx=mq-{\frac {m\left(m^{2}-1\right)}{2.3}}q^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4.5}}q^{5}-\ldots \,;$

2^o Pour le cas de $m$ pair,

(I)

$\left\{{\begin{aligned}\cos 2x&=1-2q^{2},\\\cos 4x&=1-8q^{2}+8q^{4},\\\cos 6x&=1-18q^{2}+48q^{4}-32q^{6},\\\ldots \ldots &.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

et, en général,

$\cos mx=1-{\frac {m^{2}}{2}}q^{2}+{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)}{2.3.4}}q^{4}-{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5.6}}q^{6}+\ldots .$

Ensuite

(K)

$\left\{{\begin{aligned}\sin 2x=&2pq,\\\sin 4x=&p\left(4q-8q^{3}\right),\\\sin 6x=&p\left(6q-32q^{3}+32q^{5}\right),\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$