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de $\cos x$ et $\sin x,$ on trouvera successivement

${\begin{aligned}\cos 0x=&1,\\\cos 1x=&p,\\\cos 2x=&2p\cos x-\cos 0x=2p^{2}-1,\\\cos 3x=&2p\cos 2x-\cos x\ =4p^{3}-3p,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

d’où résulte la Table suivante

(A)

$\left\{{\begin{aligned}\cos 1x&=p,\\\cos 2x&=2p^{2}-1,\\\cos 3x&=4p^{3}-3p,\\\cos 4x&=8p^{4}-8p^{2}+1,\\\cos 5x&=16p^{5}-20p^{3}+5p,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

et en général,

$2\cos mx=(2p)^{m}-m(2p)^{m-2}+{\frac {m(m-3)}{2}}(2p)^{m-4}$

$-{\frac {m(m-4)(m-5)}{2.3}}(2p)^{m-6}+\ldots$

On trouvera de même

(B)

$\left\{{\begin{aligned}\sin 1x&=q,\\\sin 2x&=2pq,\\\sin 3x&=\left(4p^{2}-1\right)q,\\\sin 4x&=\left(8p^{3}-4p\right)q,\\\sin 5x&=\left(16p^{4}-12p^{2}+1\right)q,\\\ldots \ldots &.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

et, en général,

$\sin mx=\left[(2p)^{m-1}-(m-2)(2p)^{m-3}+{\frac {(m-3)(m-4)}{2}}(2p)^{m-5}-\ldots \right]q.$

Ces séries procèdent suivant les puissances descendantes de $p\,;$ on peut en avoir aussi qui procèdent suivant les puissances ascendantes de $p$ ou de $q\,;$ mais il faut alors distinguer les cas de $m$ impair ou pair.

Soit 1^o $m$ impair ; on aura

(C)

$\left\{{\begin{aligned}\cos 1x&=p,\\\cos 3x&=-\left(3p-4p^{3}\right),\\\cos 5x&=5p-20p^{3}+16p^{5},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$