formules données ci-dessus pour 
et 
et qu’on substitue à mesure les valeurs précédentes, on trouve
dont l’analogie avec les termes des puissances correspondantes du binôme est manifeste.
D’après cela, il est étonnant que Jean Bernoulli n’ait pas trouvé les expressions finies de 
et 
et qu’il ait fallu encore vingt ans pour qu’on parvînt à la formule donnée par Moivre. Ainsi Jean Bernoulli a touché deux fois à la même découverte, et il en a laissé la gloire à ses successeurs.
Les formules précédentes renferment les puissances de 
et 
mêlées ensemble ; comme on a toujours
il est possible de faire disparaître toutes les puissances paires de ou de 
et d’avoir des formules qui procèdent suivant les puissances de ou 
Il serait difficile de parvenir à des séries régulières par la simple substitution ; mais les formules connues
font voir que les cosinus et sinus des multiples de 
forment deux séries récurrentes dont l’échelle de relation est 
Ainsi, en partant des premières valeurs de 
et 
lorsque 
et 
et mettant, pour plus de simplicité, 
et 
à la place
