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toujours prendre $i$ assez petit pour que l’on ait

${\frac {i^{\mu -1}}{2.3\ldots (\mu -1)}}f^{\mu -1}>{\frac {i^{\mu }}{2.3\ldots \mu }}f^{\mu }(j),$

condition qui se réduit à celle-ci

$f^{\mu -1}>{\frac {i}{\mu }}f^{\mu }(j),$

à laquelle il est visible qu’on peut toujours satisfaire en diminuant la valeur de $i,$ pourvu qu’on n’ait pas $f^{\mu -1}=0.$

On peut démontrer de la même manière cette autre proposition, que, si l’on a deux fonctions différentes $f(i)$ et $\operatorname {F} (i),$ qui soient telles que les $\mu$ premiers termes du développement de $f(i)$ soient respectivement égaux aux $\mu$ premiers termes du développement de $\operatorname {F} (i),$ on peut, en diminuant la quantité $i,$ rapprocher assez près les valeurs de ces deux fonctions, pour que la valeur d’aucune autre fonction, comme $\varphi (i),$ ne puisse jamais tomber entre ces valeurs, si les $\mu$ premiers termes du développement $\varphi (i)$ ne coïncident pas aussi avec ceux du développement de $f(i)$ et de $\operatorname {F} (i)\,;$ car la différence $\operatorname {F} (i)-f(i)$ se réduira, par l’hypothèse, à

${\frac {i^{\mu }}{2.3\ldots \mu }}\left[\operatorname {F} ^{\mu }(j)-f^{\mu }(j)\right],$

où la quantité $j$ pourra être différente dans les deux fonctions, mais toujours $j<i\,;$ au lieu que la différence $\varphi (i)-f(i)$ sera de la forme

${\frac {i^{\lambda }}{2.3\ldots \lambda }}\left(\varphi ^{\lambda }-f^{\lambda }\right)+\ldots +{\frac {i^{\mu }}{2.3\ldots \mu }}\left[\varphi ^{\mu }(j)-f^{\mu }(j)\right],$

$\lambda$ étant $<\mu \,;$ d’où l’on voit qu’en diminuant la valeur de $i,$ le rapport de cette différence à la première deviendra toujours plus grand, à moins que l’on n’ait aussi $\varphi ^{\lambda }=f^{\lambda },$ etc.

C’est sur ces principes qu’est fondée l’application rigoureuse de la théorie des fonctions dérivées aux parties de la Géométrie et de la Mécanique, pour lesquelles on emploie le Calcul différentiel. Soit $f(x)$ l’ordonnée d’une courbe dont $x$ est l’abscisse ; prenons une nouvelle