Page:Joseph Boussinesq - Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section, 1897.djvu/40

cas d’un canal découvert (où $p_{0}={\text{const.}}$), elle ne sera autre chose que la pente de superficie, cause unique de l’écoulement lorsqu’il devient uniforme. Donnons, en général, à cette expression, indépendante de $y$ et de $z,$ le nom de pente motrice, et désignons-la, suivant l’usage, par $\mathrm {I}$ en posant ainsi

(22)

$\mathrm {I} =-{\frac {d}{ds}}\left(\beta _{0}+\int {\frac {dp_{0}}{\rho g}}\right).$

» La première équation (13), divisée elle-même par $\rho g,$ sera l’équation indéfinie en $u,$

(23)

${\frac {d}{dy}}\left({\frac {\varepsilon }{\rho g}}{\frac {du}{dy}}\right)+{\frac {d}{dz}}\left({\frac {\varepsilon }{\rho g}}{\frac {du}{dz}}\right)+\mathrm {I} ={\frac {u'}{g}}.$

» 29. Pour la rendre, ainsi que les conditions aux limites, indépendante des dimensions absolues de la section, prenons comme variables, au lieu de $y,$ $z,$ les coordonnées $\eta ,\zeta$ du point homologue de $\left(y,z\right)$ dans une section de rayon moyen 1, et appelons $d\nu$ la petite normale homologue de $dn$ dans cette section. Autrement dit, posons

(24)

$\eta ={\frac {\chi y}{\sigma }},\zeta ={\frac {\chi z}{\sigma }}\ ;$ d’où ${\frac {d}{dy}}={\frac {\chi }{\sigma }}{\frac {d}{d\eta }},{\frac {d}{dz}}={\frac {\chi }{\sigma }}{\frac {d}{d\zeta }}$ et ${\frac {d}{dn}}={\frac {\chi }{\sigma }}{\frac {d}{d\nu }}.$

» En même temps, substituons à $\varepsilon$ sa valeur (19) et divisons chaque équation par le facteur, indépendant de $y$ et $z,$ qui lui donne la forme la plus simple. Nous aurons

(25)

${\begin{aligned}{\frac {d}{d\eta }}\left[\mathrm {F} \left(\eta ,\zeta \right){\frac {d{\frac {u}{u_{0}}}}{d\eta }}\right]+{\frac {d}{d\zeta }}\left[\mathrm {F} \left(\eta ,\zeta \right){\frac {d{\frac {u}{u_{0}}}}{d\zeta }}\right]&+{\frac {k}{\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}}{\frac {\sigma }{\chi }}{\frac {1}{u_{0}^{2}}}\\&={\frac {k}{\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}}{\frac {\sigma }{\chi }}{\frac {u'}{gu_{0}^{2}}},\end{aligned}}$

(26)

${\text{(sur le contour)}}\quad \mathrm {F} \left(\eta ,\zeta \right){\frac {d{\frac {u}{u_{0}}}}{d\nu }}=-k{\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}f\left(\eta ,\zeta \right).$

» Ces relations sont complètement indépendantes du choix des axes. En effet, leurs deux seuls termes qui paraissent en dépendre, savoir, les deux premiers de (25), si l’on y effectue les différentiations en $\eta ,$ $\zeta ,$ puis qu’on y introduise les parmètres différentiels $\Delta _{1},$ $\Delta _{2}$ des deux premiers ordres des fonctions de point qui y figurent, reviennent ensemble à

$\mathrm {F} \Delta _{2}{\frac {u}{u_{0}}}+\Delta _{1}\mathrm {F} \Delta _{1}{\frac {u}{u_{0}}}\cos \lambda ,$

où $\lambda$ désigne l’angle des deux normales aux courbes $\mathrm {F} ={\text{const.}},$ ${\tfrac {u}{u_{0}}}={\text{const.}}$