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simplifier plus loin certaines formules, nous avons mis en facteur le poids $\rho g$ de l’unité de volume, sensiblement constant, les expressions approchées de $\varepsilon ,$ dans les quatre cas simples dont il s’agit, seront

(15)

$\left\{{\begin{aligned}&{\text{(section rectangulaire large)}}\ \varepsilon ={\frac {\rho g}{k}}{\sqrt {\mathrm {B} }}hu_{0},\\&{\text{(section circulaire ou demi-circulaire)}}\ \varepsilon ={\frac {\rho g}{k}}{\sqrt {\mathrm {B} }}{\frac {\mathrm {R} }{2}}u_{0}{\frac {\mathrm {R} }{r}}.\end{aligned}}\right.$

» 24. Dans les cas de la section circulaire et demi-circulaire, la loi simple d’accroissement de $\varepsilon$ vers l’axe, exprimée par le dernier facteur ${\tfrac {\mathrm {R} }{r}},$ ne peut plus s’appliquer aux petites distances $r$ de l’axe, où elle conduirait à supposer une agitation presque infinie, physiquement inadmissible. Mais elle n’y donne aucun frottement très grand par unité d’aire, vu que la vitesse relative du glissement moyen local des couches y décroît jusqu’à zéro, par raison de continuité et de symétrie. Aussi n’en résulte-t-il, dans le mode de distribution des vitesses, qu’une altération locale à peine perceptible. Il est toutefois désirable, en vue de l’approximation plus grande que rendent possibles les récentes observations, de corriger cette loi trop simple de la proportionnalité inverse de $\varepsilon$ au rapport ${\tfrac {r}{\mathrm {R} }}\ ;$ nous le ferons par la substitution, à ce rapport, d’une fonction un peu différente ${\tfrac {r}{\mathrm {R} }}+\psi \left({\tfrac {r}{\mathrm {R} }}\right),$ où la petite partie inconnue $\psi \left({\tfrac {r}{\mathrm {R} }}\right)$ restera finie et distincte de zéro sur l’axe. Mais nous serons réduits à la déterminer par les données seules de l’expérience, dans la mesure très imparfaite que permettra leur précision (difficile cependant à surpasser). Nous remplacerons donc, à une deuxième approximation, la seconde formule (15) par celle-ci,

(16)

${\text{(section circulaire)}}\quad \varepsilon ={\frac {{\frac {\rho g}{k}}{\sqrt {\mathrm {B} }}{\frac {\mathrm {R} }{2}}u_{0}}{{\frac {r}{\mathrm {R} }}+\psi \left({\frac {r}{\mathrm {R} }}\right)}}.$

» 25. Passons au cas plus général de tuyaux ayant leur contour $\chi$ d’une même forme quelconque, définie par une relation donnée entre les rapports ${\tfrac {\chi y}{\sigma }},$ ${\tfrac {\chi z}{\sigma }}$ des coordonnées $y,z$ de leurs divers points au rayon moyen ${\tfrac {\sigma }{\chi }}\ ;$ et comprenons-y d’ailleurs celui d’un canal découvert, en imaginant