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J. BOUSSINESQ.

§ ii. FORMULES RELATIVES AUX ACTIONS MOYENNES QUI SONT EXERCÉES À TRAVERS DES ÉLÉMENTS PLANS FIXES.

Composantes des pressions moyennes locales exprimées en fonction de six d’entre elles. 6. J’appellerai $\mathrm {N} '_{1},$ $\mathrm {N} '_{2},$ $\mathrm {N} '_{3},$ $\mathrm {T} '_{1},$ $\mathrm {T} '_{2},$ $\mathrm {T} '_{3}$ (notations de Lamé) les composantes, suivant les axes, des actions exercées, à l’époque t et en un point $(x,y,z),$ à travers l’unité superficielle de trois éléments plans perpendiculaires aux trois axes des coordonnées, et $\mathrm {N} _{1},$ $\mathrm {N} _{2},$ $\mathrm {N} _{3},$ $\mathrm {T} _{1},$ $\mathrm {T} _{2},$ $\mathrm {T} _{3}$ les valeurs moyennes qu’elles prennent pendant un petit instant $\tau$ et qui sont des fonctions continues de $x,$ $y,$ $z,$ $t.$ Si $p'_{x},$ $p'_{y},$ $p'_{z}$ désignent les composantes, suivant les $x,$ les $y$ et les $z,$ de l’action exercée à travers l’unité de surface de l’élément plan, mené au même point, dont la normale fait avec les axes des angles ayant respectivement pour cosinus $\ell ,$ $m,$ $n,$ on sait que la considération du tétraèdre de Cauchy donne

{\begin{aligned}p'_{x}=\ell \mathrm {N} '_{1}+m&\mathrm {T} '_{3}+\mathrm {T} '_{2},\quad p'_{y}=\ell \mathrm {T} '_{3}+m\mathrm {N} '_{2}+\mathrm {T} '_{1},\\&p'_{z}=\ell \mathrm {T} '_{2}+m\mathrm {T} '_{1}+n\mathrm {N} '_{3}.\end{aligned}}

Ces formules sont linéaires par rapport aux $\mathrm {N} ',$ $\mathrm {T} '$ et à $p'_{x},$ $p'_{y},$ $p'_{z}\ :$ on peut donc remplacer toutes ces quantités par leurs moyennes locales $\mathrm {N} ,$ $\mathrm {T} ',$ $p_{x},$ $p_{y},$ $p_{z},$ et poser

(4)

\left\{{\begin{aligned}p_{x}=\ell \mathrm {N} _{1}+&m\mathrm {T} _{3}+n\mathrm {T} _{2},\quad p_{y}=\ell \mathrm {T} _{3}+m\mathrm {N} _{2}+n\mathrm {T} _{1},\\&p_{z}=\ell \mathrm {T} _{2}+m\mathrm {T} _{1}+n\mathrm {N} _{3}.\end{aligned}}\right.

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↑ Sur les formules générales qui régissent les pressions à l’intérieur des milieuxComme on ne saurait trop répandre la connaissance des lois très-générales et très-importantes qui régissent les pressions à l’intérieur des corps, je me permettrai de les démontrer ici, avec quelques formules de transformation qui en dérivent et qui nous seront nécessaires au — 9.
Supposons menée au hasard, à l’intérieur d’un corps quelconque (solide, fluide, ductile ou pulvérulent), une surface composée de petites parties, très-peu courbes, mais perceptibles, que nous appellerons des éléments plans. Chacun de ceux-ci pourra être divisé lui-même en parties égales, beaucoup moins étendues que l’élément considéré, et néanmoins assez, grandes pour contenir, contre leurs deux faces, un nombre immense de molécules. Ces dernières parties, qui constituent ensemble un même élément plan, se trouvent sensiblement dans des conditions physiques pa-

[p57-1] Sur les formules générales qui régissent les pressions à l’intérieur des milieuxComme on ne saurait trop répandre la connaissance des lois très-générales et très-importantes qui régissent les pressions à l’intérieur des corps, je me permettrai de les démontrer ici, avec quelques formules de transformation qui en dérivent et qui nous seront nécessaires au — 9.
Supposons menée au hasard, à l’intérieur d’un corps quelconque (solide, fluide, ductile ou pulvérulent), une surface composée de petites parties, très-peu courbes, mais perceptibles, que nous appellerons des éléments plans. Chacun de ceux-ci pourra être divisé lui-même en parties égales, beaucoup moins étendues que l’élément considéré, et néanmoins assez, grandes pour contenir, contre leurs deux faces, un nombre immense de molécules. Ces dernières parties, qui constituent ensemble un même élément plan, se trouvent sensiblement dans des conditions physiques pa-

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