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J. BOUSSINESQ.

Cas exceptionnel pour lequel ces expressions sont peut-être en défaut. 5. Toutefois, il se présente peut-être quelques cas où les variations de $u_{1},$ $v_{1},$ $w_{1},$ d’un instant à l’autre, ne sont pas entièrement indépendantes de celles des dérivées respectives en $(x,y,z)$ de $u_{1},$ $v_{1},$ $w_{1},$ et alors les expressions de $u',$ $v',$ $w'$ n’ont plus la même simplicité. Supposons, par exemple, qu’un liquide se meuve, avec une assez petite vitesse, dans un canal rectangulaire très-large, et que le régime y soit uniforme (c’est-à-dire tel qu’on ait $v=w=0,$ et, par suite, d’après (1), ${\tfrac {du}{dx}}=0$ ). L’expérience paraît indiquer que le maximum de vitesse se trouve alors, non pas à la surface libre, mais un peu au-dessous, à une profondeur d’autant plus sensible que la vitesse moyenne est plus faible^[1]. En d’autres termes, si l’axe des $z$ est choisi normal à la surface et dirigé en haut, la dérivée ${\tfrac {du}{dz}},$ positive depuis le fond jusqu’au plan où se trouve le maximum de vitesse et nulle sur ce plan, serait négative au-dessus. Or, voici comment je pense qu’on rendrait compte de ce fait : à cause de la plus grande liberté que laisse la surface libre au développement des mouvements tumultueux, de petits volumes

↑ Darcy et Bazin, Expériences hydrauliques, au tome xix des Savants étrangers, 3^e partie, n^os 31, 32, 38 et 42. — Si le canal n’avait pas une largeur beaucoup plus grande que la profondeur du liquide, le maximum de vitesse se trouverait certainement au-dessous de la surface, et d’autant plus au-dessous que les deux bords seraient plus rapprochés ; mais cet abaissement tiendrait alors, non pas à des particules lancées de bas en haut à travers les couches fluides superficielles, mais au voisinage des parois latérales : il est, en effet, naturel que l’action retardatrice de celles-ci soit un peu plus grande près de la surface libre qu’à une certaine profondeur, parce qu’il se forme probablement à la rencontre d’une paroi et de cette surface, par suite d’une plus grande latitude laissée à la production des mouvements oscillatoires normaux, à la paroi, une agitation tourbillonnaire un peu plus considérable qu’aux autres points du contour mouillé des sections ; or une faible cause retardatrice, agissant dans la région où se trouve le filet le plus rapide et où les variations d’un point à l’autre de la vitesse moyenne locale sont des quantités du second ordre de politesse, suffit pour déplacer notablement la position de ce filet, même quand elle n’exerce qu’une influence négligeable sur la dépense. L’effet ainsi produit doit bien, conformément à l’expérience, être d’autant plus sensible et se propager à des distances des bords d’autant plus grandes que les vitesses des filets sont plus faibles.

[1] Darcy et Bazin, Expériences hydrauliques, au tome xix des Savants étrangers, 3^e partie, n^os 31, 32, 38 et 42. — Si le canal n’avait pas une largeur beaucoup plus grande que la profondeur du liquide, le maximum de vitesse se trouverait certainement au-dessous de la surface, et d’autant plus au-dessous que les deux bords seraient plus rapprochés ; mais cet abaissement tiendrait alors, non pas à des particules lancées de bas en haut à travers les couches fluides superficielles, mais au voisinage des parois latérales : il est, en effet, naturel que l’action retardatrice de celles-ci soit un peu plus grande près de la surface libre qu’à une certaine profondeur, parce qu’il se forme probablement à la rencontre d’une paroi et de cette surface, par suite d’une plus grande latitude laissée à la production des mouvements oscillatoires normaux, à la paroi, une agitation tourbillonnaire un peu plus considérable qu’aux autres points du contour mouillé des sections ; or une faible cause retardatrice, agissant dans la région où se trouve le filet le plus rapide et où les variations d’un point à l’autre de la vitesse moyenne locale sont des quantités du second ordre de politesse, suffit pour déplacer notablement la position de ce filet, même quand elle n’exerce qu’une influence négligeable sur la dépense. L’effet ainsi produit doit bien, conformément à l’expérience, être d’autant plus sensible et se propager à des distances des bords d’autant plus grandes que les vitesses des filets sont plus faibles.

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