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J. BOUSSINESQ.

et les cosinus des angles qu’elles font avec les axes ont, de même, pour valeurs

$\left\{{\begin{aligned}1,\quad {\frac {dv_{1}}{dx}}dt,\quad {\frac {dw_{1}}{dx}}dt,\ {\text{pour la première}},\\{\frac {du_{1}}{dy}}dt,\quad 1,\quad {\frac {dw_{1}}{dy}}dt,\ {\text{pour la première}},\\{\frac {du_{1}}{dz}}dt,\quad {\frac {dv_{1}}{dz}}dt,\quad 1,\ {\text{pour la première}}.\end{aligned}}\right.$

Il en résulte que les cosinus des angles qu’elles forment entre elles valent respectivement

$\left({\frac {dv_{1}}{dz}}+{\frac {dw_{1}}{dy}}\right)dt,\quad \left({\frac {dw_{1}}{dx}}+{\frac {du_{1}}{dz}}\right)dt,\quad \left({\frac {du_{1}}{dy}}+{\frac {dv_{1}}{dx}}\right)dt.$

Quant aux dilatations éprouvées par l’unité de longueur de ces lignes, elles sont, d’après (1 ter), ${\tfrac {du_{1}}{dx}}dt,$ ${\tfrac {dv_{1}}{dy}}dt,$ ${\tfrac {dw_{1}}{dz}}dt,$ et l’on voit que les rapports à $dt$ de ces six quantités ont pour expressions

${\frac {du_{1}}{dx}},\ {\frac {dv_{1}}{dy}},\ {\frac {dw_{1}}{dz}},\ {\frac {dv_{1}}{dz}}+{\frac {dw_{1}}{dy}},\ {\frac {dw_{1}}{dx}}+{\frac {du_{1}}{dz}},\ {\frac {du_{1}}{dy}}+{\frac {dv_{1}}{dx}}.$

Il suffira, pour obtenir leurs valeurs moyennes (1 bis), de multiplier ces résultats par ${\tfrac {dt}{\tau }}$ et d’intégrer entre les limites $t$ et $t+\tau ,$ en exceptant les instants infiniment courts pendant lesquels il y aurait discontinuité au point $(x,y,z).$ Ces intégrations pourront évidemment se faire sous les signes ${\tfrac {d}{dx}},$ ${\tfrac {d}{dy}},$ ${\tfrac {d}{dz}},$ et $u_{1},$ $v_{1},$ $w_{1}$ se trouveront ainsi remplacés par leurs moyennes locales $u,$ $v,$ $w,$ dans le calcul desquelles des instants infiniment courts sont sans influence.

Expressions des accélérations moyennes locales. 4. Étudions enfin les accélérations. On sait que, abstraction faite des mêmes moments pendant lesquels il y a peut-être discontinuité des vitesses en $(x,y,z),$ l’accélération vraie suivant les $x$ et à l’époque $t$ est exprimée en ce point par

(2)

$u'_{1}={\frac {du_{1}}{dt}}+u_{1}{\frac {du_{1}}{dx}}+v_{1}{\frac {du_{1}}{dy}}+w_{1}{\frac {du_{1}}{dz}}.$