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J. BOUSSINESQ.

réelle en $(x,y,z),$ on sait que la condition d’incompressibilité est exprimée par la relation

{\frac {du_{1}}{dx}}+{\frac {dv_{1}}{dy}}+{\frac {dw_{1}}{dz}}=0\ ;

or celle-ci, multipliée par ${\tfrac {dt}{\tau }},$ où $\tau$ désigne le temps assez petit dont il a été parlé ci-dessus, et intégrée entre les limites $t$ et $t+\tau ,$ en exceptant les intervalles infiniment courts où il y aurait discontinuité, devient

{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{\tau }}\int _{t}^{t+\tau }u_{1}dt\right)+{\frac {d}{dy}}\left({\frac {1}{\tau }}\int _{t}^{t+\tau }v_{1}dt\right)+{\frac {d}{dz}}\left({\frac {1}{\tau }}\int _{t}^{t+\tau }w_{1}dt\right)=0,

c’est-à-dire justement l’équation (1), pourvu qu’on y remplace par $u,$ $v,$ $w$ les trois composantes, suivant les axes,

{\frac {1}{\tau }}\int _{t}^{t+\tau }u_{1}dt,\quad {\frac {1}{\tau }}\int _{t}^{t+\tau }v_{1}dt,\quad {\frac {1}{\tau }}\int _{t}^{t+\tau }w_{1}dt

de la vitesse moyenne locale, dans le calcul de laquelle on peut évidemment négliger un nombre fini d’instants infiniment courts.

La formule (1) prouve que, si l’on conçoit, au lieu du liquide étudié réellement, un fluide fictif dont les vitesses auraient $u,$ $v,$ $w$ pour composantes suivant les axes, en chaque point et à chaque instant, c’est-à-dire dont les mouvements vrais seraient exactement les mêmes que les mouvements moyens du liquide considéré, ce fluide fictif sera incompressible.

Vitesses des dilatations et des glissements. 3. J’aurai à considérer plus loin les six expressions

(1 bis)

{\frac {du}{dx}},\ {\frac {dv}{dy}},\ {\frac {dw}{dz}},\ {\frac {dv}{dz}}+{\frac {dw}{dy}},\ {\frac {dw}{dx}}+{\frac {du}{dz}},\ {\frac {du}{dy}}+{\frac {dv}{dx}}.

Abstraction faite des instants infiniment courts où il y aurait brusque discontinuité en $(x,y,z),$ les trois premières représentent le rapport moyen à $dt$ des dilatations éprouvées, pendant un instant $dt,$ par trois lignes matérielles infiniment petites $dx,$ $dy,$ $dz,$ menées, à l’époque $t$ et à partir de ce point, parallèles aux $x,$ aux $y$ et aux $z\ ;$ les trois dernières expriment de même les rapports moyens