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ESSAI SUR LA THÉORIE DES EAUX COURANTES.

tion linéaire de ces trois composantes : on peut, par suite, remplacer dans cette égalité les trois composantes dont il s’agit par leurs moyennes $u,$ $v,$ $w,$ et aussi la composante suivant la direction fixe considérée par sa moyenne, qui devient bien la projection, sur sa propre direction, de la vitesse moyenne locale $(u,$ $v,$ $w).$

J’appellerai filet fluide, à un moment donné, toute ligne à laquelle seront tangentes les vitesses moyennes locales construites en chacun de ses points, ou plutôt un faisceau composé de lignes pareilles et ayant sa section normale de dimensions infiniment petites : ces filets seront, fixes dans le cas du mouvement permanent, mais les molécules fluides ne les suivront pas ; il faudrait, pour qu’elles les parcourussent, que les vitesses réelles se confondissent, en chacun de leurs points, avec leurs moyennes locales, ou que les mouvements fussent bien continus, ce qui n’a pas lieu.

Condition de continuité ou de conservation des volumes fluides 2. Quand ce fluide est sensiblement incompressible, comme nous l’admettons^[1], la formule de la conservation des volumes est

(1)

{\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dy}}=0.

En effet, les surfaces de part et d’autre desquelles il y a rupture à un moment donné, c’est-à-dire brusque variation des vitesses, sont peut-être en nombre assez grand, mais fini, de telle sorte que le mouvement est continu tout près d’un même point fixe, si ce n’est à des moments infiniment courts et d’une durée totale négligeable par rapport au reste du temps. Ces moments étant exceptés, si $u_{1},$ $v_{1},$ $w_{1}$ désignent, à l’époque $t,$ les composantes de la vitesse

↑ Cette hypothèse de l’incompressibilité est admissible dans l’étude de déformations notables éprouvées par une masse quelconque, toutes les l’ois que le volume de chaque particule de cette masse ne varie que de fractions négligeables de sa valeur totale : c’est ce qui a lieu, non-seulement pour tous les solides plastiques, pour les massifs sablonneux ou pulvérulents et pour les liquides, mais encore pour les gaz qui s’écoulent, comme il arrive d’ordinaire, sous l’influence de pressions assez petites par rapport à la moyenne de celles qu’ils supportent dans tous les sens.

[1] Cette hypothèse de l’incompressibilité est admissible dans l’étude de déformations notables éprouvées par une masse quelconque, toutes les l’ois que le volume de chaque particule de cette masse ne varie que de fractions négligeables de sa valeur totale : c’est ce qui a lieu, non-seulement pour tous les solides plastiques, pour les massifs sablonneux ou pulvérulents et pour les liquides, mais encore pour les gaz qui s’écoulent, comme il arrive d’ordinaire, sous l’influence de pressions assez petites par rapport à la moyenne de celles qu’ils supportent dans tous les sens.

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