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J. BOUSSINESQ.

Influence d’une courbure sensible du fond. Cas d’un fond régulièrement ondulé. V. Prévenant ensuite au cas plus général d’un fond qui présente des courbures longitudinales assez petites, mais sensibles, je traite de l’effet que produit sur le régime une série d’ondulations du fond, principalement quand elles sont régulières ou sinusoïdales, et aussi des formes courbes qu’on peut donner au fond, près de l’entrée ou de la sortie d’un canal, sans que la surface libre cesse d’y être la même qu’avec un fond plat.

Dans le premier de ces problèmes, qui est aussi le plus important, je trouve que les ondulations du fond déterminent la formation, sur la surface, d’ondulations de même longueur, produites d’autant plus en amont de celles du fond que la pente moyenne de ce dernier est plus petite, mais qui s’en rapprochent et passent même à leur aval quand cette pente atteint ou dépasse une valeur particulière, moyennement égale à $0,0002{\tfrac {\mathrm {S} ^{2}}{\mathrm {H} ^{2}}},$ $\mathrm {S}$ et $\mathrm {H}$ désignant respectivement la longueur d’une ondulation complète et la profondeur moyenne. L’avance des ondulations de la surface sur celles du fond a donc sa valeur la plus grande quand la pente moyenne de celui-ci est très-petite, et elle se trouve alors, du moins en général, peu inférieure à une demi-longueur d’onde, de manière que les convexités de la surface correspondent presque exactement aux concavités du fond.

Le rapport de l’amplitude des ondulations de la surface à celle des ondulations du fond, nul quand la pente moyenne de ce dernier est nulle, et peu sensible tant qu’elle est intérieure à un demi-millième environ, ce qui est le cas ordinaire de toutes les grandes rivières^[1], grandit rapidement quand la pente approche d’une certaine valeur généralement peu différente de celle qui sépare les rivières des torrents ; il atteint alors une valeur maxi-

1. Dupuit (Eaux courantes, p.  81), citant M. Vallée (Du Rhône et du lac de Genève, p.  19), dit que la plus forte pente de superficie du Rhône est 0, 00074 dans les parties navigables, et qu’elle n’atteint la valeur 0, 0038, dans les parties non navigables, qu’au point appelé la perle du Rhône, où le fleuve a pour lit un souterrain naturel creusé dans le rocher. D’après M. Parliot (p.  43 du mémoire Sur les sables de la Loire, aux Annales des ponts et chaussées, 1871), la pente moyenne de la Loire,