substitution .
Le sens des notations se trouve ainsi expliqué.
, sera la substitution qui, multipliée par , reproduit l’unité.
27. On dira qu’un système de substitutions forme un groupe (ou un faisceau) si le produit de deux substitutions quelconques du système appartient lui-même au système.
Les diverses substitutions obtenues en opérant successivement tant qu’on
voudra et dans un ordre quelconque certaines substitutions données forment évidemment un groupe : nous l’appellerons le groupe dérivé de
et nous le désignerons par le symbole
.
28. L’ordre d’un groupe est le nombre de ses substitutions : son degré est
le nombre des lettres soumises à ses substitutions.
29. Considérons en particulier le groupe
des substitutions dérivées d’une seule substitution .
Soient respectivement les nombres des lettres de chacun des cycles de , leur plus petit multiple ; l’ordre de ce groupe sera égal à
En effet, la substitution remplace chaque lettre, telle que , par celle qui la suit de rangs dans son cycle.
sera donc la première substitution de la suite
qui se réduise à l’unité.
D’ailleurs les substitutions seront toutes distinctes ; car si l’on avait , on aurait
, ce qui est impossible, et étant .
Les puissances suivantes
reproduiront périodiquement la suite .
Nous dirons dans la suite pour abréger que est l’ordre de la substitu-
tion . Mais, pour parler exactement, on devrait dire que c’est l’ordre du
groupe dérivé de .
30. Si est une substitution dont l'ordre soit un nombre composé tel que , la substitution sera d’ordre .
En effet, la suite de ses puissances
se reproduira périodiquement au delà de .
On peut toujours prendre pour un diviseur premier de , et l’on voit
ainsi que d’une substitution quelconque donnée on déduit, en la répétant
convenablement, une substitution d’ordre premier.
31. Soit en général ,
étant des facteurs premiers différents.
Les substitutions
sont respectivement d’ordre , et font toutes partie du groupe dérivé de .
Réciproquement, dérive de ces substitutions combinées entre elles, car