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CHAPITRE PREMIER.

DES SUBSTITUTIONS EN GÉNÉRAL.

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§ I^er. — Premiers principes de la théorie.

Préliminaires.

23. On donne le nom de substitution à l’opération par laquelle on intervertit un certain nombre de choses que l’on peut supposer représentées par des lettres $a,b,\ldots$

24. Une substitution donnée $\mathrm {S}$ peut être définie de la manière suivante :

Soient $a$ une des lettres données prise arbitrairement $b$ celle qui la remplace lorsqu’on effectue la substitution $\mathrm {S}$ ; soit de même $c$ la lettre qui remplace $b$,… jusqu’à une lettre $k$ qui sera remplacée par $a$. Les lettres $a,b,c,\ldots ,k$, qui se remplacent ainsi en cercle, forment un cycle. Si ce cycle contient toutes les lettres, la substitution sera dite circulaire. Sinon, une lettre étrangère à ce cycle donnera naissance à un nouveau cycle $a',b',\ldots ,k'$. Il pourra de même y en avoir un troisième, un quatrième, etc. Si une lettre n’est pas déplacée, elle forme à elle seule tout son cycle. Mettant les cycles en évidence, on pourra désigner la substitution $\mathrm {S}$ par la notation

$\mathrm {S} =(ab\ldots k)(a'b'\ldots k')(a''\ldots k'')\ldots$

25. Le nombre des substitutions distinctes est $1.2.3\ldots n$, en y comprenant la substitution dite unité, qui laisse chaque lettre à sa place.

26. Soient $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ deux substitutions : nous désignerons par $\mathrm {AB}$ la substitution résultante obtenue en effectuant d’abord la substitution $\mathrm {A}$, puis la