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PRINCIPES MATHÉMATIQUES

ment, qui ſont, que la vîteſſe & la direction du corps ſoient données au point d’où il part.

Fig. 12.Je fais les lignes $M\mu =ds$. $CR=p$. La vîteſſe au point $P$ d’où part le corps $=f$. Le rayon vecteur en ce point $CP=h$. La perpendiculaire à la tangente au même point $CQ=l$. Par l’Art. 1. les ſecteurs ſont proportionnels aux temps : ainſi on aura $CPp:CM\mu ::{\frac {Pp}{f}}:{\frac {pds}{lf}}=$ au temps par l’arc $M\mu =dt$, donc ${\frac {dpds^{2}}{pdydt^{2}}}$ devient ${\frac {l^{2}f^{2}dp}{p^{3}dy}}$. Il faut égaler à préſent cette expreſſion générale d’une force quelconque, à la fonction de $y$, qu’on ſuppoſe exprimer la force par les conditions du Problême.

Soit pris $Y$ pour repréſenter cette fonction, on aura pour l’équation de la courbe cherchée ${\frac {l^{2}f^{2}dp}{p^{3}dy}}=Y$, ou $Ydy={\frac {l^{2}f^{2}dp}{p^{3}}}$ qu’il ne s’agit plus que d’intégrer, ce qui donne ${\frac {2B-2fYdy}{l^{2}f^{2}}}={\frac {1}{p^{2}}}$, dans laquelle équation $B$ eſt une conſtante ajoutée ; or $p$ eſt $={\frac {yydx}{\sqrt {yydx^{2}+dy^{2}}}}$ & partant ${\frac {1}{p^{2}}}={\frac {yydx^{2}+dy^{2}}{y^{4}dx^{2}}}$, on aura donc ${\frac {2By^{4}-2y^{4}\int Ydy}{l^{2}f^{2}}}-yy={\frac {dy^{2}}{dx^{2}}}$, ou $dx={\frac {dy}{y{\sqrt {{\frac {2Byy-2yy\int Ydy}{l^{2}f^{2}}}-1}}}}$, équation différentielle par laquelle on conſtruira la courbe, auſſi-tôt qu’on connaîtra $Y$. C. Q. F. T.

XVIII.

COROLLAIRE I.

On vient de trouver ${\frac {pds}{lf}}$ pour la valeur de l’inſtant, que le

corps