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Abaiſſez du foyer ſur ces tangentes les perpendiculaires $ST,$ $St,$ & prolongez ces perpendiculaires en $V,$ & en $v,$ en ſorte que $TV$ & $tv$ soient égales à $TS$ & à $tS.$ Coupez la ligne $V\scriptstyle V$ en deux parties égales au point $O,$ élevez enſuite la perpendiculaire indéfinie $OH,$ & coupez en $K$ & en $k$ la droite $VS$ prolongée indéfiniment, en ſorte que $VK$ soit à $Ks$ & $Vk$ à $kS,$ comme l’axe principal de la trajectoire à décrire eſt à la diſtance des foyers. Enfin ſur le diametre $Kk$ décrivez un cercle qui coupe la ligne $OH$ en $H\,;$ & tracez une trajectoire dont les foyers soient $S$ & $H,$ & l’’axe principal une ligne égale à $VH\,;$ & le Problème ſera réſolu.

Car coupant $kK$ en deux parties égales au point $X,$ & tirant les lignes $HX,HS,HF,H\scriptstyle V$ : puiſque $VK:KS::Vk:kS,$ & par conſéquent $::VK+Vk:KS+kS$ & $::Vk-VK:kS-KS,$ c’eſt-à-dire $::{\mathfrak {2}}VX:{\mathfrak {2}}KX,$ & $::{\mathfrak {2}}KX:{\mathfrak {2}}SX,$ ou ce qui revient au même $::VX:HX$ & $::HX:SX\,;$ les triangles $VXH,$ $HXS$ ſont semblables : ce qui donne $VH:HS::VX:XH,$ c’eſt-à-dire $::VK:KS.$ De-là il ſuit que l’axe principal $VH$ Fig 34 de la trajectoire décrite eſt à la diſtance $SH$ de ſes foyers, dans la même raiſon que celle qui eſt entre l’axe principal de la trajectoire à décrire & la diſtance de ſes foyers, & que par conſéquent la trajectoire eſt de l’eſpece demandée. De plus, comme $VH$ & $\scriptstyle V\displaystyle H$ ſont égales à l’axe principal, & que les lignes $VS,\scriptstyle V\displaystyle S$ ſont coupées en deux parties égales par les perpendiculaires $TR,tr,$ il eſt clair, par le Lemme ${\mathcal {1}}5,$ que la trajectoire décrite aura encore la propriété demandée d’être touchée par les droites $TR,tr.$$\qquad \mathrm {C.Q.F.F.}$

Cas Fig 35${\mathfrak {3}}.$ Le foyer $S$ étant donné, on demande une trajectoire qui touche la droite $TR$ en un point donné $R.$

Sur la droite $TR$ abaiſſez la perpendiculaire $ST,$ & prolongez la en $V,$ en ſorte que $TV=ST.$ Tirez enſuite $VR$ & coupez en $k$ & en $K$ la droite $VS$ prolongée indéfiniment en ſorte que $VK$ soit à $SK$ & $Vk$ à $Sk$ comme l’axe principal de l’ellipſe à