De cette formule nous concluons les faits suivants : Si nous considérons une famille quelconque simple de courbes intégrales de l’équation différentielle ordinaire du second ordre (1) et si nous formons alors une équation différentielle ordinaire du premier ordre (2)
| (2) |
qui admette également comme solutions ces courbes intégrales, la fonction sera toujours aussi une intégrale de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre (1*) ; et réciproquement, si l’on désigne par une solution quelconque de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre (1*), toutes les intégrales non singulières de l’équation différentielle ordinaire du premier ordre (2) seront également intégrales de l’équation différentielle du second ordre (1).
En abrégeant le langage, on peut dire : Si est une équation intégrale du premier ordre de l’équation différentielle du second ordre (1), représentera une intégrale de l’équation aux dérivées partielles (1*) et réciproquement ; les courbes intégrales de l’équation différentielle ordinaire du second ordre (1) sont, par conséquent, aussi les caractéristiques de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre (1*).
Dans le cas précédent nous trouvons aussi le même résultat au moyen d’un calcul facile ; ce calcul nous fournit respectivement les équations en question (1) et (1*) sous la forme
| (1) | , |
| (1*) | , |
où les indices inférieurs, d’après une notation facile à interpréter, désignent les dérivées partielles prises par rapport à . Ces formules permettent de reconnaître aisément l’exactitude de la relation dont il était question.
L’étroite relation que nous venons d’exposer et de démontrer entre l’équation différentielle ordinaire du second ordre (1) et l’équation aux dérivées partielles du premier ordre (1*) est, ce me
