grale
et cherchons comment nous devons choisir comme fonction de , afin que la valeur de soit indépendante du chemin d’intégration, c’est-à-dire du choix de la fonction de la variable . L’intégrale a la forme
,
où et ne renferment pas , et l’évanouissement de la variation première
,
interprétée ainsi que l’exige la nouvelle manière de poser la question, fournit l’équation
,
c’est-à-dire que, pour la fonction des deux variables , nous avons l’équation aux dérivées partielles du premier ordre
(1*)
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.
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L’équation différentielle ordinaire du second ordre (1) et l’équation aux dérivées partielles (1*) que nous venons de trouver ont entre elles un rapport intime. C’est ce que nous fait voir de suite clairement la transformation simple